线代笔记哦

要不要点进来看看呀

线性代数

• 矩阵

  • 等价矩阵

    • A和B经过一系列初等变换可以相互转化

  • 三角矩阵

  • 分块矩阵

    • 转置

      

    • 求逆

      

  • 共轭矩阵

    

  • 转置矩阵

    

    • 对称矩阵

      

    • 反对称矩阵

      

      • 此矩阵主对角线上元均为0

  • 逆矩阵

    • （AB)^(-1)=B(-1)*A^(-1)

    • 伴随矩阵法求逆矩阵

      

    • Ax=B型

      • (A|B)=(E|A^(-1)*B)

      右侧为代求x

    • xA=B型

      • 上下拼，然后初等列变换

    • 初等矩阵均为逆矩阵

  • 初等矩阵（3种）

    •  <span class="content mubu-node" style="line-height: 24px; min-height: 24px; font-size: 16px; padding: 2px 0px; display: inline-block; vertical-align: top;">上下拼，然后初等列变换</span>
      

    •  <span class="content mubu-node" style="line-height: 24px; min-height: 24px; font-size: 16px; padding: 2px 0px; display: inline-block; vertical-align: top;">交换行</span>
      

    •  <span class="content mubu-node" style="line-height: 24px; min-height: 24px; font-size: 16px; padding: 2px 0px; display: inline-block; vertical-align: top;">在第i行乘k</span>
      

    •  <span class="content mubu-node" style="line-height: 24px; min-height: 24px; font-size: 16px; padding: 2px 0px; display: inline-block; vertical-align: top;">将第j行k倍加到i行</span>
      

    • 对任意矩阵进行初等行变换相当于左乘初等矩阵

    • 对任意矩阵进行初等列变换相当于右乘初等矩阵

  • 对角矩阵

    

  • 阶梯形矩阵

    • 只是阶梯状，无任何约减

  • 最简形矩阵

    

    • 非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都是零。

  • 标准形矩阵

    • 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形。

  • 伴随矩阵

    • 性质

      

    • 注意其实它的所有位置都转置了

      

• 行列式

  |A|或det A

  • sgn()即逆序数，后面求和中有n!个连乘式子，需要满足每行每列元素只出现一次，但具体位置并不固定（三阶较为直观，可以用对角线法，高阶非常复杂，无法直接套用）

    

  • 性质

    

    

    

    

    

    即|kA|=k^n*|A|​

  • 按行（列）展开

    • 余子式

      • A的一个k阶余子式是A去掉了k行与k列之后得到的(m-k)×(n-k)矩阵的行列式。

    • 代数余子式

      余子式只计算去掉某行某列之后剩余行列式的值，而代数余子式则需要考虑去掉的这一个元素对最后值正负所产生的影响。

      • 

当非对应行的元与Aij相乘，则乘积之和为0，注意：不是单项为0

特殊行列式

• 主对角上三角行列式

  

  上三角是主对角线元素乘积​

• 斜下三角行列式

  

  注意前面的逆序！​

• 箭型行列式

  

  • 解法
    

• 两三角型行列式

  

  • 解法

    

  • a,b不等

    

    • 解法—拆行法
      
      

• 更复杂的例子

  

• 更更复杂的例子

  

• 解法（加边升阶法)

  

• 两条线型行列式

• 

• 范德蒙德型行列式

  

• 解法（化成范德蒙德行列式）